初级经济师崔老师

教师典型事迹材料（精选5篇） 　　在学习、工作乃至生活中，大家都用到过事迹材料吧，事迹材料具有触发力大、感染力强的特点。那么事迹材料的格式，你掌握了吗？下面是我帮大家整理的教师典型事迹材料（精选5篇），仅供参考，希望能够帮助到大家。 　　教师典型事迹材料1 　　张慧兰， xx年9月她走上了这个岗位，满满二十个春秋，她没有轰轰烈烈的先进事迹，也没有催人泪下的动人故事，她只是一名平凡而普通的教师。 　　一、投身教学改革，勇于探索实践 　　她是一名普通的一线教师，一直担任初中语文教学工作。当一名出色的教师是她努力的方向。让学生“动”起来，让课堂“活”起来；在探索中学习，在参与中发展。因此，她的多篇论文获奖并发表。她参与研究的市级课题《巧设主问题，妙用活板块提高课堂效率》在20xx年顺利结题。目前，又参与国家级课题《强化主问题意识，提高课堂的有效性》的研究。今年，在全市语文主题学习现场会上，她成功为与会者展示了一节读书汇报课。 　　二、以身作则，培养学生健全人格 　　她除负责语文教学外，还担任班主任工作。在班主任工作中，她积极探索班级管理的有效方式，制定了系统严格的班级管理制度。她注重启发学生的主动性、创造性，培养学生的自我管理能力。 　　多年来她所带的班级多次被评为市级、旗级、校级先进集体。她本人被学校评为学生最喜爱的老师，校级名师，模范共产党员。尤其在20xx年，她初次接手排练课本剧，代表学校参加旗教育局的比赛获得了一等奖的好成绩。 　　三、高标准严格要求自己。 　　“命令只能指挥人，榜样却能吸引人。”她是一名普通而平凡的教师，她只是做了一些她该做的工作。但她认为她的人生是有价值的，因为她用实际行动诠释了“师者，所以传道、受业、解惑”这一经典论述；她的生命是有意义的，因为她践行了“学高为师，德高为范”这一诺言。 　　教师典型事迹材料2 　　俞大忠是我校的一名普通物理教师。他于xx年8月参加教育工作。自参加工作以来始终在工作的第一线，爱岗敬业、无私奉献，工作成绩优秀，可称我校的楷模。 　　一、努力钻研业务，耐心教育学生，教学成绩优异。 　　在工作中他能努力钻研文化业务知识，钻研教材、研究教法，业务水平得到了提高。教学工作中，对学困生进行说服教育、耐心诱导、晓之以理、动之以情，直到把学生引导到正确的学习轨道上来，这样的事例是数不胜数。因此，他所教班级在全旗统考中，多次受到学校领导的表扬，得到了家长的认可。 　　二、服从领导的分配，积极参加活动。 　　他能够做到服从分配，听从指挥。无论学校安排什么任务，都能够愉快接受，并按时完成任务。这正是一位普通教师在平凡的岗位上爱岗敬业的体现，是勤恳踏实工作的行动，是他能取得成绩前提。 　　他始终牢记“一切为了学生的成长和发展”的理念，正像他自己所说的那样，我要在平凡的岗位上，少说空话、多做实事、让学生欢迎、让社会满意，努力做一名合格的人民教师。他不但是这样说的，更是这样做的。 　　在学生心中，他常常是一副笑脸，友善和蔼的样子，他以自己的言行来影响感化学生，真心实意的爱学生，对他们进行情感教育。赢得了社会、学生、家长、学校的赞扬，正是他的这种爱岗敬业精神才真正成为了教师敬业奉献的楷模。 　　教师典型事迹材料3 　　常xx，女，汉族，xx年10月出生，1999年7月毕业于xx师范高等专科学校数学系，20xx年xx师范大学本科毕业，所学专业数学与应用数学。从20xx年至今一直在xx七中工作，从事数学教学工作，任数学备课组组长，中教一级教师，国家三级心理咨询师。 　　"学高为师，身正为范；学为人师，行为世范"。在教育的百花园中，唯有师德的熠熠光辉，才能普照永不褪色的桃李芬芳。 　　常xx是xx七中的一名数学教师，她忠诚于党的教育事业，贯彻党的教育方针和教育理念，坚定党的教育信念，他凭着对知识的无限渴求，对事业的努力追求，对工作的苛求，得到社会、学校、家长、老师、学生的一致好评。 　　作为一名教师，常老师踏踏实实工作，那一串串深深的脚印，镌刻着她一步步努力的艰辛。 　　为师之魂，师德为先：俗话说，亲其师，则信其道；信其道，则循其步。她深知自己要有高尚的道德情操，才能以德治教、以德育人，以高尚的情操引导学生全面发展。她为人师表，时刻注重自己的言行举止，以身作则，言行一致，做出表率来教育学生；她爱岗敬业、尽职尽责，一直以来认真的对待每一位学生。无论是在课堂上还是课余时间，她都时刻注意学生的思想动态，做到及时发现及时纠正，成为学生的良师益友；她关爱学生，赵洋同学就是其中一例，家境贫寒，主动帮助他克服困难，给他买学习资料。20xx年高考赵洋以617分考取了西安交大，名列乌兰察布市第三名；她尊重家长，通过家访积极向家长宣传科学的思想和教育方法，和家长学生悉心交谈，鼓励学生全面的发展。 　　教育之源，学生为本：她赞美学生、欣赏学生和激励学生，塑造阳光心态，关注学生发展，塑造健全人格。 　　一、传递爱的教育。 　　（1）全心全意地爱学生，善意地对待学生。首先，不让学生成为坏孩子，防止他们走上错误的道路。其次，不要老抓住学生的错误不放，帮助孩子抵制邪恶的思想进入他们的心灵。信任学生、尊重学生。热爱孩子，感到跟孩子交往是一种乐趣，相信每个孩子能成为一个好人。善于跟他们交朋友，关心孩子的快乐和悲伤，了解孩子的心灵； 　　（2）通过教育日记记录学生成长。如记录学困生赵佳乐同学学习虽差但积极劳动，樊尚同学在黑板上画二次函数综合题图非常漂亮，逯之豪同学讲题思路清晰声音洪亮，姚鑫宇、高博、赵鹏同学用不同方法讲一道题，郝利鑫同学出每日一题选题认真等； 　　（3）保持并培养每个学生的自尊心和自信心。多角度看待学生的学习成绩，因为学习成绩的态度直接影响学生的自尊心。不仅要爱优等生，更要爱"后进生"。接纳学生的差异，一视同仁，公平公正地对待每一个学生。 　　二、培养学生学习能力，她注重对数学定理、公式的推倒过程和例题的求解过程。 　　（1）让学生寻求不同的解题途径和思维方法，打破思维定式，优化解题方法，培养学生思维的广阔性和发散能力； 　　（2）善于对教材中的例习题进行多层次变换，特别是变换几何图形的位置、形状和大小，以培养学生思维的灵活性和开放性； 　　（3）变封闭型试题为开放型试题，以培养学生勇于创新的精神和良好的学习习惯。她把课堂重心由教师如何讲转向学生如何学，常老师努力钻研所教内容，不断改善教育方法与实践在她教导下的学生能够不断进步。 　　为师之本，责任为先：在教学中，她切实上好每一堂课，都力求让同学们有新感觉。她的学生这样评价她的课：生动活泼、妙趣横生、易学易懂、精彩纷呈。常常是一节课下来，同学们还感到意犹未尽，快乐无比；她有个习惯，那就是对学生做题过程十分留意，一旦发现问题，立即纠正，并作为病例，当堂为全班同学分析问题的症结，请同学们研究解决的方法，最后再共同总结。在工作中，她和同事团结合作，认真钻研课程标准，进行课堂教学改革，集体备课、听课、评课来研讨课改，她注重实践—总结—提高；在课余时间，她认真研究数学竞赛试题和中考试题，对学生培优补差，20xx年，20xx年，20xx年在第xx届、第xx届和第xx届"希望杯"全国数学邀请赛中分别被评为"数学竞赛优秀教练员"、" 优秀辅导员 "、"市级指导奖"；司文龙同学获全国数学二等奖，30多人获三等奖、40多人获优秀奖。20xx年xx区统考郭鹏飞同学取得了数学单科第二名。20xx届毕业生司文龙同学在20xx年高考考了691分被清华大学录取。今年作为主讲人参加了西片区三个学校20xx年中考备考经验交流会，预测20xx年中考命题， 制定中考复习方案及应对策略。取得了一定的成绩，受到社会、家长、老师、学生的好评。 　　为师之道，能力为重：她积极参加各种培训提高自己的业务能力。20xx年在东北师范大学参加了乌兰察布市名教师培训，在xx师范学院参加xx区名教师培训，在党校培训心理咨询师，考取了三级心理咨询师，20xx年在黑龙江参加了教育部"国培计划"————自治区骨干教师培训， 20xx年参与研究国家级课题"优质在线教育资源共享模式理论与实践研究"， 学生在网站上做常老师从题库中精心选择的各科试题、做完后网上自动给出评判，常老师在线浏览给予鼓励评语，听美国老师说流畅口语等，使学生紧跟时代的发展步伐，培养信息素养。她将学习到的理论知识联系到实际教学工作中，观念新颖，知识丰富，大大提高了教学能力； 　　为师之长，终身学习：常xx认为，教师的教学观念不能停留在"一碗水"与"一滴水"的旧观念上，要跟上时代的要求。她常说："要想给学生知识的水，教师需要拥有的不是一碗水，而是要引导学生找水源，通过学生的努力，挖掘出知识的涌泉来"，最好办法就是"学习、学习、再学习。她阅读了很多专业书籍和报刊。诸如《人生黄金法则》、《责任心是第一执行力》、《好教师就是好教育》、《教师专业标准的理念》、《走进新课程》、《数学教育心理学》、《数学学习与研究》等。从中不断汲取先进的教学理念，科学的教学方法，从而不断充实完善自己，丰富自己的教学内容，提高教学水平。 　　爱事业、爱学校、爱学生、。常xx把一腔热情奉献给她深爱的教育事业，在充满爱的田地中，她辛勤地耕耘着，幸福地前进着…… 　　教师典型事迹材料4 　　崔xx，汉，女，本科（双学士学位），中教一级，现任xx市特殊教育学校律动教学教师。 　　我爱这些孩子，我爱我的职业，我从不后悔我的选择！毕业于内蒙古师范大学，获舞蹈、英语双学士学位的崔xx，受大学期间的一次公益活动的影响，毕业后她毅然选择了到xx市特殊教育学校做一名律动教师。 　　崔老师来到特校后，她坚信聋生也能够像正常人一样翩翩起舞，舞出精彩。但是现实不像她所想的那样，她面对的是一群活泼可爱却双耳失聪的孩子，而且学生的年龄又参差不齐，大部分都没有舞蹈基础。摆在崔老师面前的第一个难题就是与学生的交流。一向活泼开朗、爱开玩笑的她面对这一群处在无声世界里的孩子们，她幽默的话语、极富感染力的肢体动作换来的是学生呆呆的目光和不知所措的样子。当时崔老师很迷茫，教学模式也只停留在她跳而孩子们看着学的状态，慢慢的个别学生觉得上律动课太累了，练基本功太疼了。 　　崔老师当时有些伤心，可是后来慢慢想想，还是自己做的不够好，和学生们缺少沟通，没有设身处地的为他们着想，总是站在自己的角度考虑问题。从此她改变了教学方式，为了让学生们喜欢舞蹈，崔老师和学生们一起观看舞蹈视频，当看完舞蹈《千手观音》后，崔老师告诉孩子们，他们也是聋哑人，崔老师看到孩子们羡慕的眼神，他们问崔老师，我们可以跳得像他们那样美吗？崔老师肯定的说："当然可以，可是想把舞蹈跳好，就必须得练好基本功，基本功是根本，你们不要怕疼，怕累，我相信你们可以做到的，你们能吗？"孩子都说"我能，我能。" 就这样她开始从压肩、压腿、下腰、下叉这样的动作一对一地教，每个动作，都要反复几次、几十次甚至几百次。但是孩子们喜欢上舞蹈了，不喊疼不说累了，崔老师觉得她已经成功了第一步。之后，崔老师每天自学手语，除了向同事请教外，她尽可能多的与学生一起交流。在她的办公桌、床头都放着《中国手语》，甚至连她随身携带的手机里都下载着《中国手语》。功夫不负有心人，崔老师很快就能和学生进行无障碍交流了。崔老师了解了每个学生的性格、特长、喜好，在生活中处处关心他们，把他们当做朋友，以诚相待，在教学中，多鼓励、多表扬、培养他们的自信心，对每一个学生的点滴进步，崔老师都给予充分的肯定、及时的评价，慢慢地，她和学生的距离拉近了。 　　舞蹈教学的困难还是超出了她的预料，再悠扬的音乐，再鲜明的节拍对于听不见的学生来说都无法感知。怎样才能让没有听力的学生感受到音乐的节奏、韵律，领悟舞蹈的动作和意境成了崔老师必须要解决的问题。在舞蹈室里，为了让聋哑学生感知音乐节奏，她通过跺脚震动木地板，由地板将震动的节奏传到学生的脚底，让学生来感受节拍。就这样，崔老师的脚跺到疼、跺到麻、跺到了忘记了疼、忘记了麻，跺成了一种习惯……学习一支舞蹈，正常的孩子半个月可能就学会了，但对于他们来说对舞蹈的理解、对节奏的感知以及动作的掌握都存在较大的困难，孩子们要通过地板的震动用肢体感受音乐，他们一边凭着默记在心的旋律，一边用眼睛的余光看着老师的指挥，为了舞台上表现出的一个动作、一个笑容、一个眼神，他们要练上百次、上千次。崔老师需要在一对一的教学后再进行集体排练，往往比教正常孩子要多花费几倍的时间和几十倍的精力才能让他们掌握动作。在她怀孕期间，为了让每一名学生都能准确掌握动作，崔老师又习惯性的跺脚打节拍，她的这一举动幸亏被路过的老教师及早发现并制止。当家人得知后差点儿吓坏了她的母亲、气坏了她的`老公，而她却笑着说："看见学生们节奏不准确，我一着急忘了自己还怀着孩子，下次不会忘了。"就这样崔老师在怀孕期间一直坚持上课到临产期间才回家休息。 　　在崔老师的舞蹈队中有一名性格孤僻、内向、自卑的女生引起了崔老师的注意，课堂中这名同学总是闷闷不乐，有时自己发呆，做动作时常常不到位、跟不上节奏，而且总是怀疑别人在说自己的坏话，脾气急躁、情绪极不稳定，有时还缺课，在宿舍里因为和同学吵架还打碎镜子割过手腕。崔老师翻阅了许多有关聋生心理学的书籍，决定要帮助这名学生度过这段危险时期。她根据该生的特点，以一名大姐姐的身份去关爱她。在该生消除了对崔老师的抵触情绪后，她向崔老师敞开了心扉，倾诉了自己心中的苦恼。大多数聋生都有自卑、猜疑、焦虑的心理特点，但如此自卑的孩子还是太少见了。崔老师抓住其渴求进步和自我完善的内在要求，在课堂中生活中把握好教育的契机，捕捉她身上的闪光点，及时肯定和鼓励她的点滴进步，还专为她设计编排了一个舞蹈，使她得到了愉快的情感体验，并且激发了她内在的积极性，使她逐渐变得阳光自信起来。现在，自信的微笑、优雅的气质已经成为这个孩子留给别人的第一印象了。 　　根据学生的喜好，崔老师教授学生各民族的民间舞蹈、古典舞、拉丁舞，她要全方面的去培养学生，为此她也付出了更多的努力。很多学生都喜欢热情奔放、节奏欢快的拉丁舞，崔老师特地利用假期期间，离开未满周岁的女儿，考取了中国国际标准舞总会（CBDF）B级教师证书。课前，崔老师精心备课，舞蹈动作的要领、节奏的快慢，她都要站在学生的角度事先细心体验。课上，她对学生既严格又耐心，对学生的每一个动作她都要求精准到位，要求学生做到的她必须自己先做到，一次次地进行示范、讲解、指导，即使在学生休息的时候他还会对差一些的学生进行单独辅导，往往一堂课下来崔老师都快站立不稳，但课堂上的她从来都是站着教学，没有坐下过一次。课后，她还向经验丰富的教师请教。在长期的学习、训练中，学生的柔韧性、控制力、稳定性、协调性、灵活性和表演能力都得到提高，有助于他们身体各器官系统得到全面发展。如：教给学生正确的站姿，要求肩部打开后自然下沉，颈部挺直，腿部收紧，挺胸收腹，腹部自然收紧，能够纠正学生不良的自然体态，有助于训练和保持良好的体形和姿态；舞蹈中的手、眼训练，手、脚训练等协调性练习，舞蹈中随着音乐的速度、力度的变化学生也要根据老师的手势做出相应的速度快慢与力度强弱上的改变，有助于学生大脑的发育；在素质训练中挺胸抬头不仅可以使胸部得到充分扩展，也使学生在气质和精神面貌上得到培养。舞蹈课堂中不仅培养出学生优美的舞姿还培养出了学生正确的体态、优雅的举止和健康的体魄。 　　由于聋人学习所需时间较长，在接到舞蹈表演或比赛通知后，为了能够圆满完成任务，每一次崔老师都会利用休息日的时间去排练节目，对于80后来说，最不愿做的事就是加班，而崔老师对于这样的无偿加班却从无怨言。崔老师常常带着学生外出参加一些公益演出活动和比赛，除了能增长他们的见识更主要的是培养他们的舞台经验，优秀的表演也使崔老师和孩子们获得了很多荣誉和奖励。在不同场合的表演中，观众们赞赏的眼神和热烈的掌声不断地鼓励着孩子们，让这群生活在无声世界里的孩子们也越来越自信。学生们也始终沉浸在一种愉悦的气氛中，他们也用他们的执着告诉我们、感动我们，他们也可以认识美、感受美、创造美。在第二届内蒙古残疾人文艺汇演中，崔老师创作的的舞蹈《快乐的跳吧》获得了自治区第三名的好成绩，看着孩子们开心地跳着、唱着，站在舞台一角指挥着他们跳舞的崔老师留下了热泪…… 　　近年来由于学校招生范围扩大，在今年崔老师为智障生也开设了律动课，其中有部分孩子还伴有轻度的肢体残疾和自闭等，有的甚至平时都不与人沟通，为了让这些孩子们也能享受到音乐带来的欢乐，崔老师比以往更忙了，现在每天她停留时间最长的就是学校的律动室，在这里，她不断重复着最简单的动作，只为让这些智障孩子们，也能跳一支属于自己的舞蹈。在轻松愉快的课堂气氛中，大家看到的也许是极不协调的舞蹈动作和令人费解的表达方式，但大家却能够感受到的是孩子们最纯真最甜美的笑容…… 　　寒来暑往，又到毕业之际，面对将要离开的孩子们，当崔老师问她们想做什么时，她们没有说自己的理想，一名学生用含糊不清却又极其努力地声音说出："我们想到你家给你做顿饭。"一句朴实的话，一颗纯真的心，成为了学生献给崔老师最珍贵的毕业礼物。 　　很多人都问过崔老师同样的问题：你为什么选择到特校当舞蹈教师？你不后悔吗？崔老师总会笑着回答："我爱这些孩子，我爱我的职业，我从不后悔我的选择！虽然我不能像其他学校的老师那样桃李满天下，在教师节也不会收到孩子们漂亮的鲜花，但是只要看到他们开心的笑着、跳着，能够健康快乐的成长，对我来说，这就是最快乐的事！"这是一个年轻特教工作者的心声，因为她从事的是太阳底下最伟大的职业。 　　教师典型事迹材料5 　　xx，xx年12月19日，出生在一个贫困的农民家庭，xx年xx县重点高中毕业，xx年xx月毕业于xx师范高等专科学校，同年回到母校—xx县xx乡初级中学，任教语文学科。八年的探索与实践研究他创立了自己的教学模式——情感语文教学。 　　20xx年9月9日，早晨七点二十五分至七点五十分，辽宁卫视“社会大观·阳光地带”，主持人管旭向人们讲述了一个农村教师的故事，故事的主人公就是xx。如果我们走进xx，就会发现他更是一个创新型的教师。 　　纵观他的八年为师路，我们可以从他身上读出几种精神来。 　　一是精益求精的进取精神。 　　“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。他喜爱读书，买书、订书、借书。为了充实自己，他参加了自考——辽宁大学汉语言文学系，2001年12月毕业。在农村，像他这样对口的师专毕业生已属凤毛麟角，本科毕业仍扎根在农村更是“前不见古人”。可他却说：“我本姓农，血管中流淌的是农民的血，就应心系千万户农家子弟。” 　　二是只争朝夕的拼搏精神。“生命不是挣扎，而是奔腾，是呼啸！〃 　　日记中是这样写的，生活中也是这样做的。他总想完成他的心愿： “我是一个十足的矮子，但希望你们踩在我的肩膀上成为历史的巨人！”。他演绎着太多的传奇，给我们太多的感动。在他的日程表中没有休息日，不管是节假日还是年关初一，不管是风霜雪雨，还是酷暑严寒，他是一个与启明星为伍，以月亮作伴的人。各村屯都能看到他的身影，有时是挨家逐户的走访，有时是集中在某个庭院开家长座谈会。有一次夜间走访，摔断了锁骨。可第二天早晨他还是冒着风雪出现在讲台上。这个精神上的富翁充满着神奇的人格魅力。学生的日记中早已用他的名字取代了体育健将和影视名星。 　　三是不计得失的奉献精神。 　　“一个教师追求物质财富将会陷入极大的痛苦，追求精神财富才会快乐无穷。”农村教师本就贫穷，可他还会仗义疏财，捐资助学，为教书育人总会有大大小小的投入，或许他始终悟守着“给予才是快乐”。现在已经是副校长的他，仍然兼任初三两个班的语文课和一个班的班主任工作，默默无闻地奉献着…… 　　四是不拘一格的创新精神。 　　如果说前三种精神演绎的是省台采访记录片的题目“护花的春泥”，但那只是为师的根基，这第四种精神才真正是xx的生命之源。做为农村的一线教师，他有两大遗憾：一是物质紧张，而造成消息闭塞；二是教学条件简陋，无法使用多媒体教学。但他能够争取一切时间与机会努力学习，潜心研究，大胆探索，另辟蹊径，给农村孩子一缕城市的阳光和一片都市的天空。凭着他的进取、拼搏、奉献的底蕴，他走出了一条农村教师的创新之路。他有两句经常挂在嘴边的话：我是一个十足的矮子，但希望你们踩在我的肩膀上成为历史的巨人；如果我尽了十二分的力，一个庸才有可能变成一个人才，如果我稍一松懈，一个人才就可能变成一个庸才，那么我就成了一个名副其实的千古罪人。 　　可以说，在他身上我们看到什么才是一位老师对学生真正的爱；在他身上我们看到一颗真正的执着心；在他身上我们看到了什么才是敢为天下先。 　　在教育工作上他运用“道德长跑”和“心灵日记”等各种渠道和学生进行着心与心的交流。每天清晨，他和学生都要进行“道德长跑”。每天长跑前他们都要迎着太阳高呼：“疯狂，就是百分之百的投入，忘我、忘物、忘时！排除一切杂念，克服胆怯，树立信心，打破传统，突破极限，淋漓尽致地挑战自我的潜能！”每天在校园内都回荡着他和同学每日一新的口号，“乘长风，破万浪，勤加速，奔冲刺”、“有志者，事竟成，三年二，一定赢”、“三年二，步步赢；三年二，一定行；三年二，充满爱；三年二，永不败”等等。既使学生的身体得到了锻炼，又使学生道德品质得到了升华。学生的每篇心灵日记，小到生活中的琐事，大到人生观，他都能一一地做到心灵回应。处处充满他鼓励的话语，随时可看到他和学生在一起那欢快的笑容。他为学生排除各种心理干扰，的确是学生的良师益友。 ;

基本的几个： 1.相对速度公式： △v=|v1-v2|/√(1-v1v2/c^2) 两物体速度是v1,v2，它们之间速度的差是△v,过去我们认为△v=|v1-v2|，这个公式决定了，没有物体可以超过光速。 2.相对长度公式 L=Lo* √(1-v^2/c^2) Lo是物体静止是的长度，L是物体的运动时的长度，v是物体速度，c是光速。由此可知速度越大，物体长度越压缩，当物体以光速运动，物体的运动方向长度为0. 3.相对质量公式 M=Mo/√(1-v^2/c^2) Mo是物体静止时的质量，M是物体的运动时的质量，v是物体速度，c是光速。由此可知速度越大，物体质量越大，当物体以光速运动，物体的质量为正无穷 4.相对时间公式 t=to* √(1-v^2/c^2) to是物体静止时的时间流逝的快慢，t是物体的运动时的时间流逝快慢，v是物体速度，c是光速。由此可知速度越大，物体时间走得越慢，当物体以光速运动，物体的时间就不再流逝，从而时间停止。 5。质能方程 E=mc^2 质量和能量本质相同

你可以看一下这个网页： 一下使该文件内容，可能有公式贴不上来。 3.1 等效原理 第一章1.7节曾经提到,牛顿万有引力可以用引力场来描述.位于的质点感受到的引力决定于处的引力场, (3.1) 参数称为引力质量,描写质点对引力场响应的强弱.当质点只受到引力作用而加速运动时,称质点作自由落体运动.例如断了线的升降机,围绕地球转动的月亮等. 根据牛顿第二定律,自由落体的加速度为 (3.2) 参数描写质点被加速的难易程度,称为惯性质量.实验指出,在同样的引力场中,引力使物体产生的加速度与物体的质量无关.这意味着对任意两个物体和有普适的比例常数 (3.3) 不妨令它等于1,即 (3.4) 在牛顿力学中,引力质量和惯性质量是两个性质完全不同的参数.他们严格相等在牛顿力学中没有办法解释. 设想一些彼此相距遥远而且和其他物体相距遥远的质点,因而这些质点不受任何力的作用,故他们相对惯性系没有加速度.考虑一个相对作匀加速运动的参照系.相对于,上述所有质点具有相等而且平行的加速度.静止在的观测者看来,好像参照系没有加速运动,而质点受到一个均匀引力场作用一样(因为惯性质量等于引力质量,所有在均匀引力场中自由落体质点的加速度一样).且不管产生这种引力的原因,从效果上没有任何理由阻止我们认为存在真实的引力场和是一个和惯性系等价的没有加速度的参照系.参照系和在物理上完全等价的假设是爱因斯坦提出来的,称为等效原理. 等效原理使惯性系和非惯性系(相对惯性系加速的参照系)完全平等起来 ,是观念上的极大进步.在这个假设下,无所谓惯性系和非惯性系,参照系都是一样的.质点在不同参照系有不同的行为,只是因为不同参照系引力场的强度不同.注意,我们这里说"引力场的强度不同"而不说"引力场不同",是希望避免与"引力场是一种客观存在,因此与参照系无关"相矛盾.我们仍然可以认为引力场是一种与参照系无关的客观存在,但它在不同的参照系种表现出不同的强度.在狭义相对论中,我们遇到过类似的例子:一把尺子是客观存在,但在不同惯性系却可以表现出不同的长度.我们将稍后再讨论引力场和空间几何的关系,以及为什么会出现引力场. 显然不是所有引力场都可以通过简单的加速参照系变换来抵消.例如没有一个加速参照系能看到完全为零的地球引力(习题【3.1】).引力和加速度的等效性是局域的.爱因斯坦假设,在质点所在的无穷小空间邻域中,引力场被质点的自由落体运动完全抵消掉,固定在该质点上的参照系对该质点附近的无穷小邻域而言是一惯性系,其中引力等于零,狭义相对论成立. 等效原理: (1)均匀引力场等效于一个加速参照系中的惯性力场; (2)固定在自由落体上的参照系是一个局域惯性系. 3.2 弯曲空间 ◆爱因斯坦转盘 在惯性系中制备的一些相同的尺子(每把尺的长度为米),分别沿半径和圆周摆放. 设圆盘相对地面静止时需要用把尺子摆满半径,把尺子摆满圆周.按照欧几里德几何,周长和半径之比为 (3.5) 当圆盘以角速度转动时,圆周处的线速度为.因为转盘是一非惯性参照系,我们现在还不知道非惯性参照系的时空几何学和其他所有自然定律,只能通过地面惯性系的测量来推断转盘上的规律.根据狭义相对论(参见第二章例2-2),在地面惯性系中测得圆周上的尺子长度为 (3.6) 因此转动圆盘上的人需要多一些尺子才能摆满圆周,设需要尺子的数目为().对于转盘上的人,有两种观点可选择:1)仍然采用地面惯性系的长度标准,以不转动的尺子为长度单位;认为转盘上同样的尺子在不同的位置具有不同的长度,而圆盘转动时圆周的长度和静止时一样,即 ;2)不管尺子作惯性运动抑或非惯性运动,坚持同样的尺子在任何情况下都代表同样的长度(把它作为转盘参照系中的长度单位);因而圆盘转动时圆周的长度和静止时的不一样.对于转盘参照系,按第一种观点,本质相同的尺子在不同位置具有不同的长度,转盘上的人做长度测量时需要考虑另一个固定的参照系.而按第二种观点,尺子的长度与它所处的位置及运动状态无关,长度的测量与单个参照系有关.因为第二种观点避免了一种特殊的有优越性的参照系,所以显得自然一些. 在地面惯性系中测得沿半径摆放在转盘上的尺子长度不变,仍为,因此摆满半径所需的尺子数目仍为.如果转盘上的人采用第二种观点,即认为标准尺的长度是不变的,就会得量出周长和半径的比为 (3.7) 依这种观点,转盘参照系的几何不是欧几里德几何. 再考虑两个相同的时钟,一个放在圆心,一个放在圆周.按照狭义相对论(参见第二章例2-1),当圆盘转动时,地面惯性系的观察者将看到圆周的时钟走得慢一些.离圆心越远,时钟越慢.和前面关于尺子和长度测量的讨论相似,转盘上的观察者可以自然地认为时钟的时间单位(比如一个时钟周期)没有变,仍然代表同样地时间间隔,但转盘上的观察者测量得圆周上的时间较之圆心的变慢了. ■ 在转盘上引入非欧几何不是必须的,因为转盘相对一个惯性系转动,一切时间和尺度都可以用惯性系中的时间和尺度,空间几何以惯性系的欧几里德几何为准,即和上两章那样赋予惯性系特殊优越的地位. 但是等效原理告诉我们,圆盘的加速运动等效于引力场.因此引力场同样可以使空间变成非欧几里德空间.存在不能通过参照系变换使之处处为零的引力场,它的效应不能通过参照系变换从全空间消除掉,故对这样的引力场非欧几里德几何是必须的. 为了容易想象弯曲空间,我们假设空间是二维的.图3-2是弯曲空间的一个例子.把曲面镶嵌在高维欧几里德空间,用高维空间(三维空间)的笛卡儿坐标描写曲面是可以的.但高斯提出一种更漂亮的描写方法,即在曲面上直接建立曲线坐标.高斯的方法只使用曲面的内禀性质描写曲面的几何,不需要人为地增加内容,类似于广义相对论只在一个参照系描写空间结构(和物理规律),优越性是明显的. A A M B B 我们所讨论的曲面假定是连续可微的,每一点附近的小邻域可以用一平面(图3-3b中的M)近似.在数学上这种曲面称为二维微分流形.图3-2a的苹果如果没有破皮,而且把蒂去掉,其表面就很接近一个2维微分流形. 普遍地,可以把流形想象为一个局部光滑的空间,空间任一点的邻近区域均近似为欧几里德空间.这意味着可以在流形的任一小区域中建立局域的笛卡儿坐标,为流形的维数.对小区域中的两点可以根据欧几里德几何引入距离的概念,无穷小距离平方定义为 (3.8) 对笛卡儿坐标作任意连续可微变换 (3.9) 代入(3.8)得维流形的间隔平方可写成 (3.10) 其中函数由流形的几何性质和所选坐标架所决定,称为度规矩阵,或简称度规, (3.11) 有了之后,流形便有确定的形状和距离的概念,即确定流形的度量性质.具有度规的流形称为黎曼流形. ◆例3-1 求球面流形的度规. 【解】采用球坐标,设球的半径为.易见 (例3.1) 所以 ,, (例3.2) ■ 物理四维时空流形有类似黎曼流形的性质.观察者在引力场中作自由落体运动,他附近的小邻域里不存在引力场.因此总能将时空流形的一个小邻域当作欧几里德区域,在那里建立惯性参照系(自由落体参照系),其中狭义相对论成立.根据狭义相对论,两个无限接近事件的间隔,即(3.10)式定义的,是一个不变量,与局域惯性系的选择无关.按照度规的定义,在任意连续可微坐标变换下亦也不变(习题【3.2】).任意物理的参照系变换都可以用连续可微坐标变换给出,所以在任意局域参照系变换中不变.这些变换可以是非线性的,非均匀的.局域欧几里德并不意味有限范围空间的几何也是欧几里德的,不同的几何由不同的度规张量场表现出来(所谓张量场就是给每点都指定一个度规张量).度规场反映了参照系的不同选择,也反映了空间的几何结构.最简单的度规矩阵为单位矩阵, (3.12) 当度规矩阵为单位矩阵时,参照系为局域惯性系,在其适用的局域范围内引力场强度为零.经非线性坐标变换后,单位度规矩阵变成非单位矩阵,它对单位矩阵的偏离代表非零的引力强度.因此是和引力场相联系的. 曲面的整体拓扑性质也是很有趣的.存在非平庸拓扑的曲面,它不可能通过连续可微坐标变换把整个曲面变成平坦的.球面就是一个非平庸拓扑的曲面.相反,圆柱面是可以通过坐标变换变成平坦的.根据引力和几何的关系,如果空间是二维的球面,则空间必须存在引力场;如果空间拓扑和圆柱面一样,则整个空间原则上(数学上)可以没有引力场. 3.3 弯曲空间的矢量分析 (1)张量的定义 考虑一般坐标变换 (3.13) 无限小位移在一般坐标变换下如下式变换: (3.14) 重复指标均隐含求和,以后不再特别声明. 按定义,反变矢量由四个分量组成,它的分量在坐标变换下如(3.14)式一样变换 (3.15) 曲线的切线(例如图3-2b曲线AB的切线),选择适当参数就是四维速度矢量 (3.16) 易见它是一个反变矢量(在坐标变换下不变). 由四个分量组成的对象,其分量在坐标变换下如下式变换: (3.17) 则称它为协变矢量.注意我们总是用上标表示反变矢量,下标表示协变矢量. 反变矢量和协变矢量可以合起来构成一个标量 (3.18) 易证,在坐标变换下不变. 所有张量都通过它的分量的变换方式来定义.例如的变换方式为 (3.19) (2)基本张量——度规张量 度规矩阵是对称的协变张量. ◆【证明】 (3.20) 在新坐标中, (3.21) 因为是不变间隔,所以.比较(3.20)和(3.21)得 (3.22) 故是一个协变张量,称为协变度规张量. (3.22)可以写成 (3.23) 最右边的式子由中间的式子同时改变求和指标的名称而得到.(3.22)减上式得 上式对任意小量成立,故,即度规张量是对称的. ■ 度规矩阵的逆矩阵由下式定义, (3.24) 因为的两个指标都按(3.15)式变换,故称为反变度规张量.易见它也是对称的. 有了协变和反变度规张量,我们可以把反变矢量(指标)和协变矢量(指标)一一对应起来, , (3.25) , (3.26) 因此,一个矢量既可以用反变矢量表示也可以用协变矢量表示,分别称为矢量的两个表象:反变表象和协变表象.例如,我们把(3.25)式中的和看作同一个矢量的两种表示. (3)不变体积微元 度规矩阵的行列式记为.可证, (3.27) 其中是从坐标变到坐标的雅戈比行列式, (3.28) 右边指标是矩阵元的行指标,为列指标. 雅戈比行列式也出现在体积微元的变换中, (3.29) 因此,在坐标变换下不变,称为不变体积微元. (3.30) (4)矢量平行移动与仿射联络 如何比较空间不同点的两个矢量呢 这件事在平直的欧几里德空间是容易办到的:把其中一个矢量平行移动到另一个矢量的位置,再按平行四边形法则求他们的差.因为一个笛卡儿坐标架可以描写整个平直空间,故所谓矢量的平行移动,可以理解为矢量各个分量保持不变的移动. 但在弯曲空间,不同点的矢量之间不存在内禀的平行概念.为了确定不同点的矢量平行与否,必须规定一种平行移动的法则.图3-4直观地说明一种可能的平行移动法则——仿射联络.图3-4(a)中,一个与球面切于北极(a)点的矢量沿大弧abc移动,在移动过程中矢量保持它的长度和与弧线abc相切的特征.可以合理地认为矢量在这个过程中作平行移动.再看图3-4(b),北极上同样的矢量,沿另一条大弧adc移动,在移动过程中保持与球面相切并和弧线adc的切线正交的特征.可以同样合理地认为这个过程是对矢量的平行移动.但是我们看到两个过程在南极c点产生的矢量是不同的.可见没有办法在整个球面一致地定义矢量的平行.但是沿一条给定曲线平行移动矢量是可以无歧义地定义的.粗略地说,仿射联络是一种平行移动的法则,矢量按此法则沿一条曲线移动时方向不改变. a a b d c c 在无限小的区域,弯曲空间近似平直,因此和欧几里德空间的情形相似,矢量的无限小平行移动由初始矢量和位移矢量所确定.示意于图3-5. 考虑处一反变矢量,利用处坐标架的单位方向矢量可把矢量可写成 (3.31) 矢量被平行移动到处,成为该处的一个反变矢量. (3.32) 把平行移动引起的矢量分量的变化写成 (3.33) 则 (3.34) 其中带有三个指标的函数称为仿射联络(克里斯托菲(Christoffel)符号).矢量必须象矢量一样变换,这要求具有下面的变换性质, (3.35) 可见,不是一个张量.至此,除了(3.35)式的限制外,没有其他限制.易见,如果原来的对两个下标是对称的,经过任意变换后这种对称性仍然保持.对平直的欧几里德空间,等于零,所以对其下标一定是对称的.我们假定物理时空每一局域都可以用欧几里德空间近似,是所谓黎曼流形,故只需考虑的情形(数学上称为无挠性).物理时空是有距离概念的,可以如(3.11)那样引入度规张量场.能够保证矢量的标积在平移时保持不变的唯一地被度规张量所确定, (3.36) (5)协变微分 考虑反变矢量场.普通微分不是一个张量,因为在坐标变换下, (3.37) 第一项如张量一样变换,但第二项不是. 我们要在同一地点求矢量的差才能得到矢量.为了反映矢量场局域空间变化,用处的矢量减(由从平移到所得的矢量,见(3.34)), (3.38) 这是一个反变矢量,称为反变矢量场的协变微分.在最后的等式中我们忽略了二阶以上的无限小量. (3.38)式最后一行的中括号定义为反变矢量的协变导数, (3.39) 右边两项分别都不是张量,但合起来却是一个张量.以后"分号"一般都表示协变导数.如果空间是平坦的,可以选取不随时空点变化的度规张量,使得仿射联络等于零(见(3.36)),此时协变导数和普通导数一样.因为广义相对论中允许在不同时空点采用不同的参照系,不同的坐标架,所以需要(3.39)式右边的第二项才能保证(3.39)式具有张量的变换性质. 协变微分可以表示为 (3.40) 如果,则是平移得到的矢量. 类似可以得到协变矢量的协变导数 (3.41) 注意(3.39)和(3.41)式第二项符号的差别. 协变导数和普通导数一样有莱布尼兹求导公式 (3.42) 类似推理可以得到张量的协变导数, (3.43) 对张量求协变导数的规律是:第一项是普通导数;然后张量的每一个指标都对应有一项,由和张量相乘得到,上标为负,下标为正.注意上下指标的配合就可以写出正确的协变导数.标量也服从这个规则,因为标量没有指标,故只有普通导数项. (3.44) 一个重要的结果是,度规张量的协变导数等于零(习题【3.3】), (3.45) (6)曲率张量 如何知道空间在某一点附近是弯曲的呢 A A s s B B C C 在平直空间,把矢量沿一闭合回路平行移动一周,矢量方向和大小都不变.例如图3-6a中的矢量沿路径ABCA平行移动一周.在弯曲空间,如图3-6b,矢量沿回路(图中的ABCA)平行移动一周后,和原来出发时的矢量不一样.这是空间弯与不弯的根本差别. 考虑弯曲空间的一个无限小平行四边形,一反变矢量沿四边形边界平行移动一周.如图3-7. 可以证明,当矢量平行移动回到时,矢量的改变量为 (3.46) 推广到任意回路,上式成为 (3.47) 即沿无限小回路平移一周后,矢量的改变正比于原矢量以及回路所围的面积,其比例系数称为四阶黎曼曲率张量,由仿射联络及其导数给出, (3.48) 空间平坦的充分必要条件是四阶黎曼曲率张量等于零.四阶黎曼曲率张量满足一个重要的数学恒等式,称为毕安基(Bianchi)恒等式, (3.49) 对的指标和缩并,得到一个二阶里兹(Ricci)张量 (3.50) 总曲率(标量)等于里兹张量的缩并(先用度规张量把里兹张量的一个指标提起来) (3.51) ◆例3-2 在半径为的球面上,采用球坐标和.度规张量已在例3.1中给出.求仿射联络和曲率标量. 【解】仿射联络的非零分量有: , (例3.3) 曲率标量为 (例3.4) ■ 3.4 短程线 以上3.2和3.3节基本上是数学内容.现在回到物理问题:在引力作用下质点的运动. 根据爱因斯坦的设想,当空间的几何知道后,自由质点(除了引力之外,不受其它力作用的质点)的运动便由空间的几何完全确定了.先介绍可以通过空间内禀性质定义的一种特别曲线——短程线. 给定一个初始位置和一个初始速度,可以按以下规则在弯曲空间中画出一条唯一的曲线.如(图3-8),(1)从A点的坐标和速度矢量可以得到下一时刻的位置B;(2)沿速度方向将A点的速度矢量平行移动到B点,得到B点的速度矢量;如此类推便可得到整条曲线(图3-8).这样通过空间几何(由仿射联络给定)自然定义的曲线称为短程线. A B C … A:, B:, C:, 若质点沿短程线运动,则四维速度矢量作平行移动.可以认为短程线上各点的速度是同一个矢量(同一个矢量放在时空不同的位置可以有不同的分量,因为坐标架变了).这种运动相当于平坦空间的惯性运动.作为伽利略惯性定律的自然推广,广义相对论假设:自由落体沿短程线运动. 按照这一假说,质点作自由落体运动位移无限小距离之后,速度分量的改变等于速度矢量平行移动同样距离的分量变化.在(3.33)中取为四维速度,即取,便得到 (3.52) 设质点平移所需原时(固有时)为,上式可写为 (3.53) 或 (3.54) 此即短程线方程,即仅受引力作用的质点运动方程,它决定自由落体质点的加速度. 可证,如果质点从一点移动到另一点的路径是短程线,则移动过程所用原时取极值(附录3-1).因为这个原因,我们称这样的路径为短程线. B A 数学上,原时取极值的路径所满足的方程(3.54)可以通过变分方法求得 (3.55) 因为光速是最高速度,质点的初始四维速度矢量是类时的,在运动过程中也一定是类时的,因此,即对任意物理运动,原时都是正的. 3.5 爱因斯坦引力场方程 引力就是空间的弯曲.而空间的弯曲由度规场描写,因此度规场等价于引力场.现在要回答一个关键的问题:如何确定引力场(即)呢 依据有三: 1. 广义协变性原理:物理学方程在所有参照系中形式不变; 2. 引力场方程是定域的——是一组偏微分方程,而且关于的偏微分应该不高于二阶; 3. 在弱引力低速运动的情形回复到牛顿引力理论. 回忆牛顿引力理论,放在原点质量为的质点在产生的引力势(第一章(1.31)式) (3.56) 此式和点电荷产生的库仑势比较,数学形式是一样的.质量对应于电荷,表示质量能产生引力场.有一定空间分布的质量(质量密度为)产生的引力场可以由(3.56)式的积分得到 (3.57) 可证它满足泊松方程, (3.58) 这是牛顿的引力场方程.方程的左边是关于引力场的二阶微分方程,右边是物质的密度.这个特征应该反映在广义相对论的引力方程中.(3.58)不含时间,可以认为是物质静止参照系中引力场方程的某种近似.在运动的惯性系中,物质密度变成物质流密度(单位时间流过单位横截面积的质量).在狭义相对论中,质量即能量,故场方程的右边和物质的能量密度和能流密度有关.而单独的能量和能流密度不能形成协变的四维张量.对连续分布的物质,与物质的能量密度和能流有关的张量是物质的能量-动量密度张量.所谓"物质的"是指引力场之外的能量和动量,以后我们简称它为能量-动量密度张量.是一个对称的二阶协变张量,对应能量密度,()对应方向的能量密度流或方向的动量密度(他们成正比),()对应方向的动量密度沿方向的流.这里用"对应"一词是因为可能相差比例常数.能量-动量密度张量的具体形式要知道相互作用的理论才能写出来.能量-动量守恒定律表示为 (3.59) 事实上因为协变导数中除了普通导数外还有仿射联络项,物质能量-动量并不严格守恒.能量-动量可以在物质和引力场之间交换. 让出现在场方程的右边,左边应该是一个与引力场(度规)有关的二阶张量,它的协变微分等于零.这个张量只能含有度规的二阶偏导数.爱因斯坦找到这个张量, (3.60) 可以证明它的协变微分等于零.把它和能量动量密度张量联系起来,得到著名的爱因斯坦广义相对论引力场方程 (3.61) 为牛顿引力常数.右边系数的选择使得方程在弱引力场和缓变近似下回复到牛顿引力理论(附录3-2).爱因斯坦最早写出的方程还多出一项, (3.62) 最后一项称为宇宙项,为宇宙常数.宇宙项不违反上述对场方程的一般性要求,也没有物理上的理由排除它.爱因斯坦当年希望得到一个宇宙的稳态解,所以加上这一项.1922年弗里德曼(A. Friedmann)发现,如果宇宙的曲率半径是时间的函数,则可以不加入宇宙项.爱因斯坦为此很后悔加上了宇宙项.但最近的实验表明,宇宙常数很可能不等于零,而且是一个非常大的数,不过它只在非常大的宇宙尺度引起物理效应. 注意,能量-动量密度张量不包含引力的贡献.在所谓真空(除引力场无其他物质)中,场方程(3.61)成为 (3.63) 这是关于引力场的非线性二阶偏微分方程.真空场方程除了平庸的平坦空间解外,还有引力波解.引力波的存在至今还没有得到实验直接证实. 关于广义相对论更详细的初级读物有郑庆璋,崔世治编著的《广义相对论基本教程》(中山大学出版社1991). 习题 【3.1】简单说明地球的引力不能被转动坐标系抵消. 【3.2】按照度规的定义(3.11)式,证明在任意连续可微坐标变换下不变. 【3.3】度规张量的协变导数等于零,即(3.45)式. 【3.4】推导例3-2的结果.