容斥原理英语

第22章-容斥原理-第24讲

你这个不能按数学推理来，得用集合里的韦恩图来表示，用韦恩图很容易理解，我简单的和你说下吧

63个人中参加二门的包括参加注册会计师和四六级的，也包括参加注册会计师和计算几的

89个人中参加二门的包括参加注册会计师和四六级的，也包括参加四六级和计算机的

47个人中参加二门的包括参加计算机和四六级的，也包括参加计算机和注册会计师的

二参加二门的46个人就包括参加注册会计师和四六级的、注册会计师和计算机的、计算机和注册会计师的这三种情况

实际情况中，参加注册会计师和四六级的被加2次，参加注册会计师和计算几的被加二次，参加计算机和四六级的被加2次，合起来就是整体参加二门的被加了二次，实际上也就是一在63+89+47中，这些参加二门的人被计算了二次，实际只需要计算一次，因此要减掉一次

参加三门的也一样，是被重复计算了三次，因此要减掉二次

可以看下面的图

63+89+47

=区1+区2+区4+区5+区3+区2+区5+区6+区7+区4+区5+区6

=区1+区2+3区+区4+区5+区6+区7+（区2+区4+区6）+2×区5

=总人数+参加二门的人数+2×参加三门的人数

因此总人数=63+89+47-参加二门的人数-2×参加三门的人数

现在明白了吗？下面的图就是韦恩图

瑞士著名的数学家欧拉，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支．比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f(x)表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等．其中欧拉公式的一个特殊公式ei＋1＝0，将数学上的5个常数0、1、i、e、联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V-E＋F＝2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流．欧拉公式的证明 欧拉公式V＋F-E＝2，人们已给出多种证法，本节课中给出的是比较直观且不涉及其他更深知识的一种证法，适合我们的知识状况的一种证明方法，这种拉橡皮膜的方法体现了拓扑变换的特点．下面，介绍另两种思维方法供参考． 证法一：(1)假想一凸多面体的面用薄橡皮做成，内部是空的，现破掉一个面，把其余的面展平并保持原表面的多边形的边数不变，成为一个平面网络，这时V、E不变，只是F少1，于是即证在网络中V-E＋F＝1． (2)在网络中的多边形边数若大于3，由于每增加一条对角线，则E、F各加上1，V-E＋F不变，于是尽可能增加对角线，使网络成为全由三角形组成的网络． (3)边缘上的三角形若有一个边不是与其他三角形共边，去掉这边，则V不变，E、F各减少1；若有两边不与其他三角形共边，去掉这两边，则F、V各减少1，E减少2，这样逐步可把“周围”的三角形一一去掉)．(4)最后剩下一个三角形，显然满足V-E＋F＝1，从而在凸多面体中，V-E＋F＝2． 证法二：设F个面分别为n1，n2，…， 边形，则所有面角总和 ∑a＝(n1-2)＋(n2-2)＋…＋( -2) ＝(n1＋n2＋…＋ )-2F＝2E-2F① 如上面展成平面网络后，设去掉的一个面为n边形，可得到一个由n边形围成的网络，内部有V-n个点． 则∑a＝(n-2)＋(n-2)＋(V-n)2＝(n-2)2＋(V-n)2② 由①、②易得我们所得到的式子．

根据图http://baike.baidu.com/albums/573741/573741.html#0$e8112b2aa241f7165343c1e9，将对应的人数填进相应的区域，试试能不能得出结论。提示：区域1+区域2区域4+区域5=整个的圆=参加某一门考试的人数。