居民区内开英语培训班

可以办培训班，如果挂牌子营业就去工商局起个营业执照就行

办辅导部是一种经营活动，凡从事经营活动都要办理相关手续，不办理是不合法的，这与盈利高低无关。你还有美术画材销售，还是不可以把辅导部与美术画销售办做一个工商手续，因为辅导部是教育类，与销售类完全不同，教育类必须经教育部门批准。参考文献：中顾网刘芳律师

需要办：1、医疗机构执业许可证2、营业执照3、执业人员的执业证件

没问题，但是要考虑到社区居民的需求和你的初想是不是相一致。以及你的精力可以顾虑到哪些层次的孩子，别啥基础的孩子都招最后搞得你精力顾不上还影响了孩子的学习，有所侧重吧，祝你顺利

没有在工商注册以及教育部门从理论上说是违法的，但相关部门一般不会进行处理。