在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.函数两组元素一一对应的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。～‖函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).数集D称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定。相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素。functions数学中的一种对应关系，是从非空集合A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈X}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数。例1：y=sinx X=[0，2π]，Y=[－1，1] ，它给出了一个函数关系。当然 ，把Y改为Y1=（a，b） ，a有3个变量，y是u的函数，y=ψ（u），u是x的函数，u=f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数：x→u→y，这要看定义域：设ψ的定义域为U。f的值域为U，当U*ÍU时，称f与ψ 构成一个复合函数， 例如 y=lgsinx，x∈（0，π）。此时sinx>0 ，lgsinx有意义。但如若规定x∈（－π，0），此时sinx<0 ，lgsinx无意义，就成不了复合函数。 若能由函数方程F（x，y）=0 确定y为x的函数y=f（x），即F（x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。思考：隐函数是否为函数？因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一” 设点（x1，x2，…，xn） ∈GÍRn，UÍR1 ，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，u=f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。基本初等函数及其图像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。 y=ax（a>0 ，a≠1），定义成为（－∞，+∞），值域为（0 ，+∞），a>0 时是严格单调增加的函数（即当x2>x1时，） ，00）， 称a为底 ， 定义域为（0，+∞），值域为（－∞，+∞）。a>1 时是严格单调增加的，00时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a，（4ac-b^2）/4a)交点式：y=a(x-x?)(x-x) [仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和 B（x?，0）的抛物线]其中x1，2= -b±√b^2－4ac注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：______h=-b/2a k=（4ac-b^2）/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a二次函数的图像在；平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。抛物线的性质⒈抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）⒉抛物线有一个顶点P，坐标为P (-b/2a ，（4ac-b^2）/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。⒊二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。⒋一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。⒌常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）⒍抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。_______Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式y=ax^2y=a(x-h)^2y=a(x-h)^2+ky=ax^2+bx+c顶点坐标（0，0)（h，0)（h，k)（-b/2a，sqrt[4ac-b^2]/4a)对 称 轴x=0x=hx=hx=-b/2a当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0）的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2]/4a）．3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0），若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小．4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：⑴图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；⑵当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0）和B(x?，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点）当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0），则当x= -b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a．顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．6．用待定系数法求二次函数的解析式⑴当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0）．⑵当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0）．⑶当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0）．7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现． 1．（北京西城区）抛物线y=x2-2x+1的对称轴是（）（A）直线x=1（B）直线x=-1（C）直线x=2（D）直线x=-2考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴．评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：y=-，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确．另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1）2，所以对称轴x=1，应选A．2．（北京东城区）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：．考点：二次函数y=ax2+bx+c的求法评析：设所求解析式为y=a(x-x1）（x-x2），且设x113时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0≤x≤30，所以两个范围应为0≤x≤13； 13≤x≤30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：解：⑴y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13）2+59.9所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强。当13 
