高一数学期中考试试题

(1)因在R上f(-x)=-f(x)

表明f(x)在R上为奇函数

则f(0)=0

又在R上f(x+2)=f(x)

令x=-1

则f(-1+2)=f(-1)

即f(1)=f(-1)（I）

而f(x)在R上为奇函数

则f(-1)=-f(1)（II）

由（I）（II）知f(-1)=f(1)=0

令-1

则0<-x<1

依题有f(-x)=2^(-x)/[4^(-x)+1]=2^x/(4^x+1)

而在R上f(-x)=-f(x)

则-f(x)=2^x/(4^x+1)

即f(x)=-2^x/(4^x+1)

综上知f(x)在[-1,1]上的解析式为：

f(x)=0，x=-1

f(x)=-2^x/(4^x+1)，-1

f(x)=0，x=0

f(x)=2^x/(4^x+1)，0

f(x)=0，x=1

(2)令0

则f(x2)-f(x1)=2^x2/(4^x2+1)-2^x1/(4^x1+1)=(2^x1-2^x2)[2^(x1+x2)-1]

注意到y=2^x为增函数，且当x>0时y>1

则2^x1-2^x2<0，2^(x1+x2)-1>0

所以f(x2)-f(x1)<0

表明f(x)在区间(0,1)上为减函数

(3)若方程f(x)=λ有解

则f(x)图象与直线y=λ有交点

由（2）知f(x)在(0,1)上为减函数

而当x趋近于0时，f(x)趋近于2^0/(4^0+1)=1/2

且当x趋近于1时，f(x)趋近于2^1/(4^1+1)=2/5

（事实上，依据单调性定义易知函数g(x)=2^x/(4^x+1)在闭区间[0，1]上也是减函数）

则在(0,1)上2/5

又f(x)在R上为奇函数

则在(-1,0)上-1/2

注意到f(-1)=f(0)=f(1)=0

所以在[-1,1]上方程f(x)=λ有解的情形如下：

当λ=0时，方程f(x)=λ有三个解

当-1/2<λ<-2/5或2/5<λ<1/2方程f(x)=λ有一个解

附图