点集拓扑期末考试

《点集拓扑》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。 代数拓扑(Algebraic topology)是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。它的前身是组合拓扑，组合拓扑的奠基人是H.庞加莱，1895年他建立了单纯同调群即可三角剖分的空间（多面体）的同调群，引进了重要的拓扑不变量贝蒂数及挠系数。.亚历山大在1915年证明了贝蒂数和挠系数是同胚不变量，单纯同调群是同胚不变量。同时庞加莱还引进了复形的基本群。1904年他给出了庞加莱猜想，即每个单连通的闭的可定向的三维流形同胚于三维球面，这个猜想后被推广为每个单连通的闭的n维流形，如果具有n维球S的贝蒂数和挠系数，它就同胚于S。庞加莱猜想尚未被证明。推广了的庞加莱猜想，对于n≥5的情形，为S.斯梅尔于1961年证明，对n＝4的情形，为.弗里德曼于1981年所证明。庞加莱是企图利用同调群和基本群对三维流形进行同胚分类，但亚历山大在1919年指出存在不同胚的三维流形，它们有同构的同调群和基本群。20世纪20年代S.莱夫谢茨和亚历山大发展了同调论，得到了霍普夫不变量，证明了莱夫谢茨不动点定理，亚历山大对偶定理。20世纪初引进了一般空间的同调群。1932年E.切赫上同调群产生。1944年S.艾伦伯格定义了奇异同调群且用艾伦伯格-斯廷罗德公理把各种同调群统一起来，建立了同调理论。在同伦论方面W.赫维茨定义了同伦群。.怀特赫德把研究对象推广到CW复形。1947年.斯廷罗德在障碍理论中定义了斯廷罗德平方运算。1951年.塞尔对纤维丛引进了谱序列，在同伦群的计算方面取得不少成就。此外纽结问题也进一步发展成为思维合痕和嵌入问题。

（Topology）原意为地貌池可直译为＂位置的几何学。拓扑学是一口研巧图形拓扑性质的科学，是数学中重要的几何分支，用来研究＂空间＂在连续变换下保持不变的性质。        1、地理信息系统 地理信息系统中认为，当地图大小和形状发生改变时，虽然图形的欧式几何性质将发生变化，但是有些图形性质却始终保持不变，例如图形的相交性、邻接性、包含性等拓扑关系性质。在地理信息系统中，点、线、面之间基本的拓林关系有相离、邻接、相交、包含等关系。         2、建筑设计领域 在当代建筑设计中，巧扑建筑的思潮正在悄然兴起，扎哈哈迪德（Zahadid）的作品便是典型的代表。强调连续性的拓化建筑形态重视的是人、空间、自然的系统整合，正逐渐打破冲突性建筑而成为新的建筑语言..        3、艺术领域        4、认知也理学领域        拓扑性质指的是图形在拓化变换下保持不变的几何性质，是拓扑学研究中的重要内容。拓扑性质关注的是图形间的位置关系，对于图形的大小、形状及彼此的距离则不予考虑。        1、位置的拓升关系表达    （1） 拓扑变换 在图形拉伸、缩小、弯曲等弹性形变的情况下，只要原本不同的点仍然不重合为同一个点，也不产生新点，那么图形中点与点之间就存在着一一对应关系。      （2） 拓扑关系 在拓扑变换下，有关图形的大小、形状等度量将发生变化，而有关图形的点、线、面、体之间的关联、相交、相邻、包含等关系将保持不变。        4IM拓扑关系分类模型(Egenhofer) 4IM模型理论依据为点集拓扑学，它利用两个空间对象边界与内部所产生的四组交集的关系，空(用0表示）与非空（用1表示）来进行判断。         2、形状识别的两大模式 ‘‘整体论’’和＂原子论＂——拓扑性质知觉理论        该理论受到拓扑几何启发，认为知觉组织可从变换及变换中的不变性知觉的角度来理解。即知觉领域所探讨的＂整体’’概念可进一步理解为拓扑变换中的不变性质－拓扑性质。 1）拓扑性质是知觉组织中最稳定的性质 拓扑性质知觉理论遵循的一个重要思想为数学中的Erlangen钢领，该纲领的核也思想为，某种变换越一般（越小的限制），对应的不变性质就越稳定。 从限制性上看，欧氏变换、仿射变换、射影变换、拓扑变换依次减小，那么，相应的稳定性质则逐渐变强，可推理出拓扑不变性变换是限制最小，最稳定的变换。长距离似动实验        产品形态仿生——拓化性质是知觉组织中最稳定的性质，那么在产品形态仿生设计中要尽可能的保持这种性质的稳定性。在产品形态仿生设计中可通过保持特征元素之间的拓扑关系的不变性来形成知觉组织的稳定性。产品形态仿生设计——可利用人眼对图形拓扑性质差异性的感知，突出产品的特征结构，强化其对形态仿生产品的生物形态特征的感知。        3、封闲性和图形结构的优势效应        在视知觉的早期阶段，封闭图形的优势效应非常明显，可迅速的被识别出来。        4、巧化不变性质和似动现象        拓扑一致的物体更被认为是相似的，更容易产生似动现象。 产品形态仿生设计——合理运用似动现象可以増加产品动势，似动现象的产生与图形的一致性存在关联。  1）研究任务的关联性 产品形态仿生设计——确保生物原型的可识别性；  2）研究对象的关联性  3）研究方式的关联性        拓扑性质在产品形态仿生设计中的约束体现在两个方面：首先这是对设汁推理过程的逻辑约束，而不是对设计结果的约束，最终的产品形态依然具备有无限多的可能。其次，这是对形态生成过程的动态约束，拓扑性质所强调的仿生形态不是一个＂静止’的形，而是动态的，表达了生命及其运动的延续过程。        拓扑的约束过程是连续的，连续性所指向的是一个函数过程，或者说是运动。拓扑学在对于距离、尺寸和形状等等并不关注，在拓扑学里，甜甜圈和咖啡杯是同一类物体，因为它们可都可通过拓扑变换进行相互的转换。 在形态仿生设计中运用＂拓扑性质’’并不会对形态的创造性产生约束，形态依然存在着无限可能，它所约束的是设计师的延续判断和逻辑推理的思维过程。 2、拓扑性质是对形态生成的动态约束。