小崔崔shining
.006-2007学年第二学期04本实变函数期末试题（A类）注：A类试卷供统招学生使用 B类试卷供中外合作办学学生使用题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 合分人 复查人得分 一、填空：（共10分）1．如果 则称 是自密集，如果 则称 是开集，如果 则称 是 ， 称为 的 .2．设集合 可表示为一列开集 之交集： ，则 称为 . 若集合 可表示为一列闭集 之并集： ，则 称为 .3．（Fatou引理）设 是可测集 上一列非负可测函数，则 .4．设 为 上的有限函数，如果对于 的一切分划 ，使 成一有界数集，则称 为 上的 ，并称这个数集的上确界为 在 上的 ，记为 . 二、选择填空：（每题4分，共20分）1．下列命题或表达式正确的是 A． B． C．对于任意集合 ，有 或 D． 2．下列命题不正确的是 A．若点集 是无界集，则 B．若点集 是有界集，则 C．可数点集的外测度为零 D．康托集 的测度为零3．下列表达式正确的是 A． B． C． D． 4．下列命题不正确的是 A．开集、闭集都是可测集 B．可测集都是Borel集C．外测度为零的集是可测集 D． 型集， 型集都是可测集5．下列集合基数为 （可数集）的是 A．康托集 B． C．设 是整数， D．区间 中的无理数全体 三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusin）定理的逆定理四、（20分）设 ， 是 上 有限的可测函数，证明：存在定义在 上的一列连续函数 ，使得 于 五、（10分）证明 六、（10分）设 是满足Lipschitz条件的函数，且 于 ，则 为增函数七、（10分）设 是 上的有界变差函数，证明 也是 上的有界变差函数
异次元2015
必要性：任取E={x|f(x)≥c}中收敛数列{xn}设xn->x，∵xn∈[a,b]，∴x∈[a,b]∴由f(x)连续，可知f(xn)->f(x)则f(x)=lim{n->∞}f(xn)≥lim{n->∞}c=c∴x∈E，即E是闭集，E={x|f(x)≤c}时同理充分性：考虑任意一点t∈[a,b]，则对任意ε>0A={x∈[a,b]:f(t)-ε
优质考试培训问答知识库
