数学模型第四版考试

《数学模型》作业解答第二章(1)（2008年9月16日）1． 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;（2）. §1中的Q值方法；（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：1 2 3 4 5ABC 235 …333 111 …432 216 144 108 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，方法一（按比例分配）分配结果为：方法二（Q值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：第10个席位：计算Q值为最大，第10个席位应给C.分配结果为方法三（d’Hondt方法）此方法的分配结果为：此方法的道理是：记 和 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）. 是每席位代表的人数，取 从而得到的 中选较大者，可使对所有的 尽量接近.再考虑 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：宿舍 （1） （2） （3） （1） （2） （3）ABC 3 2 23 3 34 5 5 4 4 35 5 56 6 7总计 10 10 10 15 15 152． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型.解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑 到 时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 两边积分，得第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为 的风吹在迎风面积为 的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车获得的功率 与 、S、 的关系.解: 设 、 、S、 的关系为 ， 其量纲表达式为:[P]= , [ ]= ,[ ]= ,[ ]= ,这里 是基本量纲.量纲矩阵为：A=齐次线性方程组为：它的基本解为由量纲 定理得 ， ， 其中 是无量纲常数.16．雨滴的速度 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度 的表达式.解：设 , , , 的关系为 , , , =0.其量纲表达式为[ ]=LM0T-1，[ ]=L-3MT0，[ ]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[ ]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组Ay=0 ，即的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量纲 定理 得 . ，其中 是无量纲常数.16 ．雨滴的速度 与空气密度 、粘滞系数 、特征尺寸 和重力加速度 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度 的表达式.解：设 , , , ， 的关系为 .其量纲表达式为[ ]=LM0T-1，[ ]=L-3MT0，[ ]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[ ]=LM0T0 ，[ ]=LM0T-2其中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组Ay=0 即的基本解为得到两个相互独立的无量纲量即 . 由 , 得, 其中 是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期 ,摆长 , 质量 ,重力加速度 ，阻力系数 的关系为其量纲表达式为：， 其中 ， ， 是基本量纲.量纲矩阵为A=齐次线性方程组的基本解为得到两个相互独立的无量纲量∴ , ,∴ ，其中 是未定函数 .考虑物理模拟的比例模型，设 和 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为 , ； , ; , . 又当无量纲量 时， 就有 .《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．解：设购买单位重量货物的费用为 ,其它假设及符号约定同课本．对于不允许缺货模型，每天平均费用为：令 ， 解得 由 ，得与不考虑购货费的结果比较，T、Q的最优结果没有变．对于允许缺货模型，每天平均费用为：令 ，得到驻点：与不考虑购货费的结果比较，T、Q的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数 ，销售速率为常数 ， ．在每个生产周期T内，开始的一段时间 一边生产一边销售，后来的一段时间 只销售不生产，画出贮存量 的图形.设每次生产准备费为 ，单位时间每件产品贮存费为 ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论 和 的情况.解：由题意可得贮存量 的图形如下：贮存费为又, 贮存费变为于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为., 得易得函数 取得最小值，即最优周期为：. 相当于不考虑生产的情况.. 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度 与火势 有关，可知火势 越大，灭火速度 将减小，我们作如下假设: ，分母 而加的.总费用函数最优解为5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本 随时间增长，设 ， .又设单位时间的销售量为 .今将销售期分为 两段，每段的价格固定，记作 .求 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为 ，再求 的最优值.解：按分段价格，单位时间内的销售量为又 .于是总利润为==, 得到最优价格为:在销售期T内的总销量为于是得到如下极值问题：利用拉格朗日乘数法，解得：即为 的最优值.第三章3（2008年10月21日）6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费 ＝2500（元）;每天每吨角钢的贮存费 ＝（元）.又现在的订货周期T ＝30（天）根据不允许缺货的贮存模型：得：令 ， 解得：由实际意义知：当 （即订货周期为 ）时，总费用将最小.又 ＝300＋100k=353．33＋100k－ ＝（＋100k）－（300＋100k） ＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T = ，能节约费用约53．33元.《数学模型》作业解答第四章（2008年10月28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用 原料1千克, 原料5千克；一件乙产品用 原料2千克, 原料4千克.现有 原料20千克, 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S则此问题的数学模型为：max S=20x+.这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线 ：x+2y=20, :5x+4y＝70y以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.直线 ：20x+30y=c在可行域内平行移动.易知：当 过 与 的交点时， xS取最大值.由 解得此时 ＝20 ＝350（元）2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物 体积（立方米/箱） 重量（百斤/箱） 利润（百元/箱）甲 5 2 20乙 4 5 10已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为 , ,所获利润为 则问题的数学模型可表示为这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为：由直线及 组成直线 在此凸四边形区域内平行移动.易知：当 过 与 的交点时， 取最大值由 解得.3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉 件,乙型微波炉 件,相应的利润为S.则此问题的数学模型为：max S=3x +.这是一个整线性规划问题用图解法进行求解可行域为：由直线 ：2x+3y=100, :4x+2y＝120及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线 ：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当 过 与 的交点时, S取最大值.由 解得.＝3 ＝100.《数学模型》作业解答第五章1（2008年11月12日）1.对于节传染病的 模型，证明：（1）若 ，然后减少并趋于零； 单调减少至（2）解：传染病的 模型（14）可写成（1）（2）4．在节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为初始兵力 相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用 表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:现求(1)的解: (1)的系数矩阵为.再由初始条件，得又由其解为(1)即乙方取胜时的剩余兵力数为又令注意到 .(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率 增援.则相轨线为此相轨线比书图11中的轨线上移了 乙方取胜的条件为第五章2（2008年11月14日）6. 模仿节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为 ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.解: 设给药速率为(1)快速静脉注射: 设给药量为 则(2)恒速静脉滴注(持续时间为 ): 设滴注速率为 解得(3) 口服或肌肉注射:3种情况下的血药浓度曲线如下：第五章3（2008年11月18日）8. 在节香烟过滤嘴模型中,(1) 设求(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到 处的情况下，进入人体毒物量的区别.解，(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为只吸到 处就扔掉的情况下的毒物量为