高数下学期考试试题

中国科学院研究生院硕士研究生入学考试高等数学（甲）考试大纲一、 考 试 性 质中国科学院研究生院硕士研究生入学高等数学（甲）考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报考理论物理、原子与分子物理、粒子物理与原子核物理、等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理学、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地质、气候学等专业的考生。二、 考试的基本要求要求考生系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。三、 考试方法和考试时间高等数学（甲）考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。四、考试内容和考试要求（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形数列极限与函数极限的概念 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： ， 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性概念考试要求1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。掌握判断函数这些性质的方法。3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。会求给定函数的复合函数和反函数。4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。6. 掌握极限的性质及四则运算法则，会运用它们进行一些基本的判断和计算。7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限。掌握利用两个重要极限求极限的方法。8. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10. 掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理等），并会应用这些性质。11．理解函数一致连续性的概念。（二）一元函数微分学考试内容导数的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 基本初等函数的导数 导数的四则运算 复合函数、反函数、隐函数的导数的求法 参数方程所确定的函数的求导方法 高阶导数的概念 高阶导数的求法 微分的概念和微分的几何意义 函数可微与可导的关系 微分的运算法则及函数微分的求法 一阶微分形式的不变性 微分在近似计算中的应用 微分中值定理 洛必达（L’Hospital）法则 泰勒(Taylor)公式 函数的极值 函数最大值和最小值 函数单调性 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 弧微分及曲率的计算考试要求1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，掌握函数的可导性与连续性之间的关系。2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。4. 会求分段函数的一阶、二阶导数。5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数6. 会求反函数的导数。7. 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。10. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。11.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。（三）一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 变上限定积分定义的函数及其导数 牛顿－莱布尼茨（Newton－Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 广义积分（无穷限积分、瑕积分） 定积分的应用 高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设函数f(x)的定义域为[0，4]，则函数f(x2)的定义域为（ ）A.[0，2] B.[0，16]C.[-16，16] D.[-2，2]2. =（ ） D.不存在3.设f(x)为可微函数，且n为自然数，则 =（ ） B. D.不存在4.设f(x)是连续函数，且f(0)=1，则 （ ） B. .已知某商品的产量为x时，边际成本为 ，则使成本最小的产量是（ ） 二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.函数f(x)=ln(1-x)，x≤0的值域是___________。7.设 ___________。8. ___________。9.设 ，则 =___________。10.设f(x)= ，则 =___________11.函数y=(x-1)(x+1)3单调减小的区间是___________。12.设某商品市场需求量D对价格p的函数关系为D(p)=1600 ，则需求价格弹性是___________。13. =___________。14.设 =___________。15.微分方程 的阶数是___________。三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16．求极限 .17．设 18．求不定积分 .19．计算定积分 .20．设 ，求dz.四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21．设 22．求 的值.23．设D为xoy平面上由x=0， 所围成的平面区域，试求 .五、应用题（本大题9分）24．某厂每批生产某产品x单位时，边际成本为5（元/单位），边际收益为10－（元/单位），当生产10单位产品时总成本为250元，问每批生产多少单位产品时利润最大？并求出最大利润.六、证明题（本大题共5分）25．证明方程 内至少有一个根.

大多数人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。02、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。03、莫找借口失败，只找理由成功。（不为失败找理由，要为成功找方法） 04、伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 05、世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。06、当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。07、世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。 08、人之所以能，是相信能。 09、一个有信念者所开发出的力量，大于99个只有兴趣者。 10、每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。11、人生伟业的建立 ，不在能知，乃在能行。 12、任何的限制，都是从自己的内心开始的。13、含泪播种的人一定能含笑收获。14、欲望以提升热忱，毅力以磨平高山。15、一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的人永远不必为自己的前途担心。16、一个人最大的破产是绝望，最大的资产是希望。17、不要等待机会，而要创造机会。 18、如果寒暄只是打个招呼就了事的话，那与猴子的呼叫声有什么不同呢？事实上，正确的寒暄必须在短短一句话中明显地表露出你对他的关怀。19、昨晚多几分钟的准备，今天少几小时的麻烦。20、做对的事情比把事情做对重要。 21、人格的完善是本，财富的确立是末。22、没有一种不通过蔑视、忍受和奋斗就可以征服的命运。23、行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。 24、没有天生的信心，只有不断培养的信心。25、只有一条路不能选择——那就是放弃的路；只有一条路不能拒绝——那就是成长的路。26、人性最可怜的就是：我们总是梦想着天边的一座奇妙的玫瑰园，而不去欣赏今天就开在我们窗口的玫瑰。 27、征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。28、失败是什么？没有什么，只是更走近成功一步；成功是什么？就是走过了所有通向失败的路，只剩下一条路，那就是成功的路。29、让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧！ 30、再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。31、任何业绩的质变都来自于量变的积累。 32、成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成

多数人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。02、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。03、莫找借口失败，只找理由成功。（不为失败找理由，要为成功找方法） 04、伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。 05、世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。06、当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。07、世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。 08、人之所以能，是相信能。 09、一个有信念者所开发出的力量，大于99个只有兴趣者。 10、每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。11、人生伟业的建立 ，不在能知，乃在能行。 12、任何的限制，都是从自己的内心开始的。13、含泪播种的人一定能含笑收获。14、欲望以提升热忱，毅力以磨平高山。15、一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的人永远不必为自己的前途担心。16、一个人最大的破产是绝望，最大的资产是希望。17、不要等待机会，而要创造机会。 18、如果寒暄只是打个招呼就了事的话，那与猴子的呼叫声有什么不同呢？事实上，正确的寒暄必须在短短一句话中明显地表露出你对他的关怀。19、昨晚多几分钟的准备，今天少几小时的麻烦。20、做对的事情比把事情做对重要。 21、人格的完善是本，财富的确立是末。22、没有一种不通过蔑视、忍受和奋斗就可以征服的命运。23、行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。 24、没有天生的信心，只有不断培养的信心。25、只有一条路不能选择——那就是放弃的路；只有一条路不能拒绝——那就是成长的路。26、人性最可怜的就是：我们总是梦想着天边的一座奇妙的玫瑰园，而不去欣赏今天就开在我们窗口的玫瑰。 27、征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。28、失败是什么？没有什么，只是更走近成功一步；成功是什么？就是走过了所有通向失败的路，只剩下一条路，那就是成功的路。29、让我们将事前的忧虑，换为事前的思考和计划吧！ 30、再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。31、任何业绩的质变都来自于量变的积累。 32、成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成

一、选AA.正确，用反证法证明，需要详细证明的话，跟我说一下B.错误，举一个反例 y=sin(1/x)是一个有界函数，但是当x趋近于0的时候，函数不存在极限，说明有界函数未必有极限C.正确，反之，如果函数连续那么这个函数未必可导，比如y=| x |其余的题，貌似不全啊